丘成桐

中國(guó)數(shù)學(xué)的喜與憂

在漢朝，中國(guó)數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究如何去解方程式，包括計(jì)算立方根，到宋朝時(shí)，已經(jīng)可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數(shù)字解，對(duì)方程的結(jié)構(gòu)沒有深入的了解。

一個(gè)最簡(jiǎn)單的問題就是解二次方程：

X2+1=0

事實(shí)上，無論X是任何實(shí)數(shù)，方程的左邊總是大于零，所以這個(gè)方程式?jīng)]有實(shí)數(shù)的解，因此中國(guó)古代數(shù)學(xué)家不去討論這個(gè)方程式。

大約在四百多年前，西方數(shù)學(xué)家開始注意這個(gè)方程，文藝復(fù)興后的意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)它跟解三次和四次方程有關(guān)。他們知道上述二次方程沒有實(shí)數(shù)解，就假設(shè)它還是有解，將這個(gè)想象中的解叫作虛數(shù)。

虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)很了不起！有了虛數(shù)后，西方學(xué)者發(fā)現(xiàn)所有多項(xiàng)式都有解，而且解的數(shù)目剛好是多項(xiàng)式的次數(shù)。所以有了虛數(shù)后，多項(xiàng)式的理論才成為完美的理論。

完美的數(shù)學(xué)理論很快就得到無窮的應(yīng)用。事實(shí)上，后來物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來解釋所有波動(dòng)現(xiàn)象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學(xué)里面波動(dòng)力學(xué)的種種現(xiàn)象。數(shù)論研究對(duì)象的重要部分是整數(shù)，但為了研究整數(shù)，我們不能避免地要大量用到復(fù)數(shù)的理論來幫忙。

在19世紀(jì)初葉，柯西和黎曼開始了復(fù)變函數(shù)的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。黎曼又引入了Zeta函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的解析性質(zhì)可以給出整數(shù)中的質(zhì)數(shù)（prime number）的基本性質(zhì)。另一方面，他也因此開發(fā)了高維拓?fù)溥@個(gè)學(xué)科。由于復(fù)數(shù)的成功，數(shù)學(xué)家企圖將它推廣，制造新的數(shù)域，但很快就發(fā)現(xiàn)除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓（William Rowan Hamilton）和凱利（Arthur Cayley）先生卻在放棄復(fù)數(shù)域中某些性質(zhì)后，引進(jìn)四元數(shù)（quarterion）和八元數(shù)（Cayley numbers）這兩個(gè)新的數(shù)域。這些新的數(shù)域影響了狄拉克（Paul Dirac）在量子力學(xué)的構(gòu)想，創(chuàng)造了狄拉克方程。從這里可以看到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為了追求完美化而得到重要的結(jié)果。

愛因斯坦創(chuàng)造廣義相對(duì)論時(shí)，人類觀察到的宇宙空間實(shí)在不大，他卻得到數(shù)學(xué)家的大力幫助。在愛因斯坦完成廣義相對(duì)論后，外爾和很多科學(xué)家開始融合引力場(chǎng)理論和電磁場(chǎng)理論，外爾率先提出規(guī)范場(chǎng)的理論，經(jīng)過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對(duì)論類似的規(guī)范場(chǎng)論，在物理學(xué)上，這是一個(gè)偉大的突破。二十多年以后，泡利（Wolfgang Pauli）、楊振寧和米爾斯將規(guī)范群推廣到非交換群后，完成了一般的規(guī)范場(chǎng)理論，成為近代物理學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。

有趣的是，外爾說：假如理論和見到的現(xiàn)象有沖突，而這個(gè)理論漂亮而簡(jiǎn)潔的時(shí)候，我寧愿相信理論。這個(gè)看法對(duì)規(guī)范場(chǎng)理論的發(fā)展有很大的幫助。在這里，我們又看到了文學(xué)家和科學(xué)家類似的地方。

將一個(gè)問題或現(xiàn)象完美化，然后，將完美化后的結(jié)果應(yīng)用到新的數(shù)學(xué)理論，來解釋新的現(xiàn)象，這是數(shù)學(xué)家的慣用手法，與文學(xué)家有很多相似的地方，只不過文學(xué)家用這種手法來表達(dá)他們的感情罷了。

在中國(guó)古代，很多傳說都是憑想象力，根據(jù)已知知識(shí)夸大地描述很多無法證明的事情。文學(xué)家為了欣賞現(xiàn)象或者舒解情懷而夸大，而完美化，但數(shù)學(xué)家卻為了了解現(xiàn)象而構(gòu)建完美的背景。有些時(shí)候，數(shù)學(xué)家花了幾千頁紙的理論將一些模糊不清的具體現(xiàn)象用極度抽象的方法去統(tǒng)一、描述、解釋。

這是值得驚喜的事：近代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)不同的分支取得巨大的成果，與文學(xué)家的手段極為類似。所以好的數(shù)學(xué)家最好有人文的訓(xùn)練，從變化多姿的人生和大自然中得到靈感來將科學(xué)和數(shù)學(xué)完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做少量的改進(jìn)，就以為自己是一個(gè)大學(xué)者。

我們需要培養(yǎng)一些能望盡天涯路，又能衣帶漸寬終不悔的學(xué)者，這需要濃郁的文化和感情的背景。中國(guó)數(shù)學(xué)家太注重應(yīng)用，不在乎數(shù)學(xué)嚴(yán)格的推導(dǎo)，更不在乎數(shù)學(xué)的完美化。因此至明清時(shí)，中國(guó)數(shù)學(xué)家實(shí)在無法跟文藝復(fù)興的數(shù)學(xué)家相比。直到如今，除了少數(shù)兩三個(gè)大師外，中國(guó)數(shù)學(xué)家走的研究道路基本上還是蕭規(guī)曹隨。在創(chuàng)新的路上提不起勇氣，不敢走前人沒有走過的路。這一點(diǎn)與中國(guó)近幾十年來文藝教育不充足，對(duì)數(shù)理感情的培養(yǎng)不夠有關(guān)。

到今天，中國(guó)的理論科學(xué)家在原創(chuàng)性還是比不上世界最先進(jìn)的水平，我想一個(gè)重要的原因是我們的科學(xué)家在人文的修養(yǎng)還是不夠，對(duì)自然界的真和美感情不夠豐富。

我們中華民族是一個(gè)富有感情和富有深度的民族。上述的文學(xué)家、詩(shī)人、小說家的作品，并不落后于世界！但是，我們的科學(xué)家對(duì)人文的修養(yǎng)卻不大注意，一些管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們似乎認(rèn)為語文和歷史的教育并不重要，轉(zhuǎn)而用一些淺顯而沒有深度的通識(shí)教育來代替這些重要的學(xué)問，大概他們以為國(guó)外注重通識(shí)教育的緣故吧。這種做法其實(shí)是舍本逐末。

坦白說，我還沒有看到過一個(gè)有水平的國(guó)家和城市不反復(fù)地去教導(dǎo)國(guó)民們本國(guó)或本地的歷史。我兩個(gè)孩子在美國(guó)一個(gè)小鎮(zhèn)讀書。他們?cè)谛W(xué)、中學(xué)，將美國(guó)三百年的事情念得滾瓜爛熟！因?yàn)檫@是美國(guó)文化的基礎(chǔ)。我敢說，不懂或是不熟習(xí)歷史的國(guó)民，必定會(huì)認(rèn)為自己是無根的一代。一般來說，文化的根基比較膚淺的人容易受愚弄和誤導(dǎo)，因?yàn)樗麄兛床磺宄虑榈那耙蚝蠊?/p>

史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們?yōu)榍鼗蕽h武，唐宗宋祖創(chuàng)下的豐功偉績(jī)感到驕傲，為他們的子孫走錯(cuò)的路而感嘆！中國(guó)五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們?yōu)槭裁床缓煤玫乩梦覀冏嫦攘艚o我們的遺產(chǎn)？

或許有人說，我不想做大科學(xué)家，所以不用這樣學(xué)。其實(shí)這并不矛盾。當(dāng)一個(gè)年輕人對(duì)自己要學(xué)習(xí)的學(xué)問懷有濃厚的感情后，學(xué)習(xí)任何學(xué)問都會(huì)變得輕而易舉。至于數(shù)學(xué)和語文并重，在先進(jìn)國(guó)家一向是理所當(dāng)然的。美國(guó)比較好的大學(xué)招生時(shí)，都注重看待SAT中語文和數(shù)學(xué)部分。

除了考試以外，美國(guó)好的中學(xué)也鼓勵(lì)孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數(shù)理的科目。美國(guó)有很多高質(zhì)量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國(guó)好的科普雜志不多，銷量也少得可憐，從這一點(diǎn)，就可以看到中西文化的差異，希望在未來能夠漸漸改進(jìn)。

最后要指出，數(shù)理人文和所謂博雅教育（Liberal education）有著莫大關(guān)系。博雅教育的目標(biāo)廣闊，既著眼于基礎(chǔ)知識(shí)、鑒古知今、推理分析，又能培養(yǎng)學(xué)生在藝術(shù)上的創(chuàng)造性，兼且對(duì)科學(xué)的概念和實(shí)驗(yàn)的精準(zhǔn)性有所了解，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)因材施教，反對(duì)重復(fù)不斷的操練，防止出現(xiàn)過早學(xué)科化和專業(yè)化的潮流。

以培養(yǎng)專業(yè)人才為目標(biāo)是許多名校的優(yōu)良傳統(tǒng)，但這絕非哈佛大學(xué)的使命。哈佛學(xué)子在專注于某門學(xué)問的同時(shí)，學(xué)校更希望他們成為一個(gè)事事關(guān)心、善于分析和獨(dú)立思考的人，畢業(yè)后有志貢獻(xiàn)于社會(huì)，并不斷學(xué)習(xí)。

美國(guó)名校的教育使得不少的學(xué)者跨越不同的領(lǐng)域而得到極大的成就。有些學(xué)生在本科時(shí)讀英文系，畢業(yè)后卻可以成功地創(chuàng)立高科技公司。當(dāng)代數(shù)學(xué)物理有極為杰出成就的威騰（Edward Witten）教授在本科時(shí)念歷史。這些例子在美國(guó)名校不勝枚舉，但在華人社會(huì)卻不多見。這應(yīng)當(dāng)歸功于美國(guó)博雅教育的結(jié)果，也就是數(shù)理人文并重的結(jié)果。

中國(guó)的教育始終離不開科舉的陰影，以考試取士，系統(tǒng)化的出題目，學(xué)生們對(duì)學(xué)問的興趣集中在解題上，科研的精神仍是學(xué)徒制，很難看到尋找真理的樂趣。西方博雅教育的精神確實(shí)能開闊我們的視野，激勵(lì)我們的感情，更能夠培養(yǎng)大學(xué)問的成長(zhǎng)。我寫過一本叫作《大宇之形》的科普書，有些物理系教授也用來作為通識(shí)課本。多讀多看課本以外的書，對(duì)我們做學(xué)問，為人處世都會(huì)有大幫助。

好的文學(xué)詩(shī)詞發(fā)自作者內(nèi)心，而將人與人的關(guān)系、人對(duì)自然界的感受生動(dòng)呈現(xiàn)出來。激情處，可以驚天地泣鬼神，而至于萬古長(zhǎng)存不朽不滅！偉大的科學(xué)家不也是同樣地要找到自然界的真實(shí)和它永恒的美麗嗎？

人物簡(jiǎn)介

丘成桐，當(dāng)代數(shù)學(xué)大師，現(xiàn)任哈佛大學(xué)講座教授，1971年師從陳省身在加州大學(xué)伯克利分校獲得博士學(xué)位。發(fā)展了強(qiáng)有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學(xué)產(chǎn)生了深刻的變革。解決了卡拉比（Calabi） 猜想、正質(zhì)量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數(shù)學(xué)分支。年僅33歲就獲得代表數(shù)學(xué)界最高榮譽(yù)的菲爾茲獎(jiǎng)（1982），此后獲得MacArthur天才獎(jiǎng)（1985）、瑞典皇家科學(xué)院Crafoord獎(jiǎng)（1994）、美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)（1997）、沃爾夫獎(jiǎng)（2010）等眾多大獎(jiǎng)。現(xiàn)為美國(guó)科學(xué)院院士、中國(guó)科學(xué)院和俄羅斯科學(xué)院的外籍院士。

（本報(bào)記者陳鵬整理，本文內(nèi)容與高等教育出版社出版的《數(shù)學(xué)的藝術(shù)》內(nèi)容有重合，已得到作者認(rèn)同）